フーリエ変換~ラプラス変換~Z変換

はじめに

理工学科で活躍してきたフーリエ級数、フーリエ変換・逆変換、ラプラス変換・逆変換、Z変換・逆変換が、プリズムをかけて太陽光のスペクトルを表現させるように、関数の(広義的)周波数特性を解析するとき必ず登場するといえる。フーリエ変換、ラプラス変換、Z変換の計算式および(広義的)周波数領域におけるイメージ表現の例を以下のように示す。

フーリエ級数

周期2Lの区分的に滑らかな周期関数\(g(t)\)は、不連続点を除いて、
$$ f(t) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n cos\frac{n\pi}{L}t + b_n sin\frac{n\pi}{L}t) $$
で表される。ただし、
$$ a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(t)dt \\ a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(t)cos\frac{n\pi}{L}tdt \\ b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(t)sin\frac{n\pi}{L}tdt $$

フーリエ変換・逆変換

区分的に滑らかで絶対可積分な関数\(f(x)\)について、フーリエ変換は次の式で表される。
$$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\omega x}dx $$
フーリエ逆変換は次の式で表される。
$$ f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{-i\omega x}d\omega $$
ただし、以上に限りなく他の表現もある。

離散フーリエ変換・逆変換

離散フーリエ変換は次の式で表される。
$$ F_n = \frac{1}{N} \sum_{k=n}^{N-1}f_k e^{-i \frac{2n\pi}{N}k} f_k = f(k\frac{2L}{N}) $$
離散フーリエ逆変換は次の式で表される。
$$ \sum_{k=n}^{N-1} F_n e^{i \frac{2n\pi}{N}k}=f_k $$

ラプラス変換・逆変換

フーリエ変換の複素数\(i \omega \)から\(s=\sigma+i\omega \)に拡張して、殆どの\(f(t)\)が絶対可積分となって、ラプラス変換は次の式で表される。
$$ F(s) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-st} dt $$
ラプラス逆変換は次の式で表される。
$$ f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\sigma – i\infty}^{\sigma + i\infty} F(s) e^{st} ds $$

Z変換・逆Z変換

ラプラス変換の\(f(t)\)をサンプリングした離散信号を\( x(n), z = e^{\sigma + i\omega T} \)とおくと、Z変換は次の式で表される。
$$ X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) z^{-n} $$
逆Z変換は次の式で表される。
$$ x(k) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{c} X(z) z^{k-1} dz $$

(広義的)周波数領域のイメージ表現例

Laplace-Fourier-tranform
ラプラス変換、フーリエ変換のイメージ表現例

Z-tranform
Z変換のイメージ表現例

ただし、\( F(s)、F(z) \)の実際は複素数である。

最後に

共にフランス数学者のフーリエ先生(徒)、ラプラス先生(師)は実の師弟関係だ。減衰振動等微分方程式と代数方程式の橋渡し役、即ち微分方程式の解き方としてのラプラス変換・逆変換が公開されたに対して、波動方程式、熱伝導方程式の解き方として、また正規直交系基底である常数、正弦、余弦を組み合わたフーリエ級数から無限次元ベクトル空間が構成可能で、更に条件付き関数を時間領域から周波数領域の表現に転換可能なフーリエ変換・逆変換が新たな世界を切り拓いた。もしフーリエ先生の貢献がなかったら、離散フーリエ変換に基づいたアナログ~デジタルのサンプリング定理等の現代通信理論が成り立たないとは過言ではない。

参考書籍

「フーリエ変換」 佐藤敏明先生=著 ナツメ社=出版

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ブラシレスDCモータ~Hブリッジ回路

概要

DCブラシレスモータはブラシや整流子に依存しなくなり、代わりに整流用の半導体デバイスを使用する。同期モータの一種で、特性はDCモータと同様。速度はモータ電圧に比例し、トルクはモータ電流に比例する。下図のように、回転部としてのロータは外側にある、アウターロータ型モータと呼ばれるのを例に説明してみる。回転子の内周には磁石が配置されており、U、V、W相コイルの位置は120°ずれている。三相コイルは中心(中性点)で互いに接続されている。U、V、W相コイルの外側にホールセンサが配置され、出力信号はプルアップされて制御プロセッサに入力される。アウターロータ(回転子、磁石)のN極がホールセンサに近いときはH、S極がホールセンサに近いときはLとなる。

三相ブラシレスDCモータの例
三相ブラシレスDCモータの例

Hブリッジ回路でモータ制御

ブラシレスDCモータを駆動するHブリッジ回路の一例は下図のように示される。

BLDCM_H-bridge
BLDCM_H-bridge

下図のように、120°矩形波のU、V、W相ホールセンサと、U、V、W相電圧のH、Lの対応関係が分かる。
BLDCM_Pullup
BLDCM_Pullup

よって、アウターロータが一周360°回転の場合、U、V、W相ホールセンサのUH、UL、VH、VL、WH、WLがそれぞれ180°、U、V、W相電圧のUH、UL、VH、VL、WH、WLがそれぞれ120°と分かる。
ブラシレスDCモータには、FOC(ベクトル周波数変換、磁界ベクトル方向制御とも呼ばれる)、方形波制御(台形波制御、120°制御、6ステップ整流制御とも呼ばれる)、正弦波制御の3つの主な制御方法がある。

矩形波制御

矩形波制御は、ホールセンサまたは無誘導推定アルゴリズムを使用してモータの回転子の位置を取得し、360°の電気サイクルで回転子の位置に応じて6回の転流(60°の転流ごと)を実行する。各転流位置モータは特定の方向に力を出力するので、矩形波制御の位置精度は電気的に60°であると言える。この制御では、モータの相電流波形は方形波に近いため、矩形波制御と呼ばれている。

正弦波制御

正弦波制御方式はSVPWM波を使用し、出力は三相正弦波電圧であり、対応する電流も正弦波電流。矩形波制御と比較してトルク変動が少なく、高調波が少なく、制御時の「細かい」感じが明らかだが、制御器の性能要件は矩形波制御よりわずかに高く、モータ効率が発揮できない。

FOC制御

正弦波制御は、電圧ベクトルの制御を実現し、間接的に電流の大きさの制御を実現するが、電流の方向を制御することはできない。 FOC制御は、電流ベクトルの制御、すなわちモータの固定子磁界のベクトル制御を実現する正弦波制御の改良版と見なすことができる。

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