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機械学習の１０、Aprioriアルゴリズム

はじめに
実装
実行
参考文献

はじめに

スーパーでは、おむつとワインと同時に売れそうだから数多くの商品からおむつとワインが何らかの関連性があるとは。お父さんが子供用品を買うときに自分のご褒美にワインを買ってしまうと考えられる。アメリカ大統領の当選の予想には選挙イベント用のグッズの販売数が多いほうが当選されてしまうのもグッズと当選が強く相関すると考えられる。以上のことから、ビッグデータからアイテムの頻出度(出現頻度)を数えて頻出アイテム集合を検出して、頻出アイテム集合から相関ルールを検出するのは画期的なスーパーでは、おむつとワインと同時に売れそうだから数多くの商品からおむつとワインが何らかの関連性があるとは。お父さんが子供用品を買うときに自分のご褒美にワインを買ってしまうと考えられる。アメリカ大統領の当選の予想には選挙イベント用のグッズの販売数が多いほうが当選されてしまうのもグッズと当選が強く相関すると考えられる。以上のことから、ビッグデータからアイテムの頻出度(出現頻度)を数えて頻出アイテム集合を検出して、頻出アイテム集合から相関ルールを検出するのは画期的なアプリオリ(Apriori)アルゴリズムである。例えばトランザクション数=4、 $\small [(1,3,4),(2,3,5),(1,2,3,5),(2,5)]$ のトランザクション集合(買上げリスト4本と思って良い)にアプリオリ・アルゴリズムを適用すると、次式の頻出ルールで頻出度、相関ルール $x → y$ で確信度を計算する。
$\small 頻出度(x)= \frac{xを含むトランザクション数}{トランザクション数} \\ \small 頻出度(1)= \frac{2}{4} = 50\% \\ \small 頻出度(x,y)= \frac{xとyを含むトランザクション数}{トランザクション数} \\ \small 頻出度(1,3)= \frac{2}{4} = 50\% \\ \small 確信度(x,y)= \frac{xとyを含むトランザクション数}{xを含むトランザクション数} \\ \small 確信度(1,3)= \frac{2}{2} = 100\% \\ \small 確信度(2,3)= \frac{2}{3} = 67\%$
これで頻出度の閾値(最小頻出度)と確信度の閾値(最小確信度)を決めると、以下Aprioriアルゴリズムの処理手順で閾値以上の相関ルールが見出すことになる。
※ トランザクションの由来は、スーパーで1回ずつの買い物(取引)から得たデータなので、例えば(1,3,4)は1回の買い物から、数字化したデータ、1-おむつ、3-ワイン、4-たまごを表す。

【頻出アイテム集合を検出手順】最初に１個の要素からなる候補集合C1を生成して、頻出度が閾値以上であるという条件でふるい分けして、頻出アイテム集合L1を作り出す。次に、頻出アイテム集合L1の要素を組み合わせて2個要素からなる候補集合C2を生成して、頻出度が閾値以上であるという条件でふるい分けして、頻出アイテム集合L2を作り出す…繰り返す。

【相関ルールを検出手順】頻出アイテム集合L2から、次に確信度が閾値以上であるとの条件で相関ルールを検出する。次に、頻出アイテム集合L3から…繰り返す。

実装

$\small [(1,3,4),(2,3,5),(1,2,3,5),(2,5)]$ から決まった頻出度、確信度で相関ルールを検出する。アプリオリ・アルゴリズムでは検出することができると分かる。

ソースコード
https://github.com/soarbear/Machine_Learning/tree/master/apriori

実行

最小頻出度(minSupport): 0.5, 最小確信度(minConfidence): 0.5

[main] minSupport: 0.5, Lk: [[frozenset({5}), frozenset({2}), frozenset({3}), frozenset({1})], [frozenset({2, 3}), frozenset({3, 5}), frozenset({2, 5}), frozenset({1, 3})], [frozenset({2, 3, 5})], []]
suppDataList: {frozenset({1}): 0.5, frozenset({3}): 0.75, frozenset({4}): 0.25, frozenset({2}): 0.75, frozenset({5}): 0.75, frozenset({1, 3}): 0.5, frozenset({2, 5}): 0.75, frozenset({3, 5}): 0.5, frozenset({2, 3}): 0.5, frozenset({1, 5}): 0.25, frozenset({1, 2}): 0.25, frozenset({2, 3, 5}): 0.5}
[calcConf] frozenset({3})--> frozenset({2}), conf: 0.67
[calcConf] frozenset({2})--> frozenset({3}), conf: 0.67
[calcConf] frozenset({5})--> frozenset({3}), conf: 0.67
[calcConf] frozenset({3})--> frozenset({5}), conf: 0.67
[calcConf] frozenset({5})--> frozenset({2}), conf: 1.00
[calcConf] frozenset({2})--> frozenset({5}), conf: 1.00
[calcConf] frozenset({3})--> frozenset({1}), conf: 0.67
[calcConf] frozenset({1})--> frozenset({3}), conf: 1.00
[calcConf] frozenset({5})--> frozenset({2, 3}), conf: 0.67
[calcConf] frozenset({3})--> frozenset({2, 5}), conf: 0.67
[calcConf] frozenset({2})--> frozenset({3, 5}), conf: 0.67
[main] minConfidence: 0.5
ruleList: [(frozenset({3}), frozenset({2}), 0.67), (frozenset({2}), frozenset({3}), 0.67), (frozenset({5}), frozenset({3}), 0.67), (frozenset({3}), frozenset({5}), 0.67), (frozenset({5}), frozenset({2}), 1.0), (frozenset({2}), frozenset({5}), 1.0), (frozenset({3}), frozenset({1}), 0.67), (frozenset({1}), frozenset({3}), 1.0), (frozenset({5}), frozenset({2, 3}), 0.67), (frozenset({3}), frozenset({2, 5}), 0.67), (frozenset({2}), frozenset({3, 5}), 0.67)]

最小頻出度(minSupport): 0.5, 最小確信度(minConfidence): 0.7

[main] minSupport: 0.5, Lk: [[frozenset({5}), frozenset({2}), frozenset({3}), frozenset({1})], [frozenset({2, 3}), frozenset({3, 5}), frozenset({2, 5}), frozenset({1, 3})], [frozenset({2, 3, 5})], []]
suppDataList: {frozenset({1}): 0.5, frozenset({3}): 0.75, frozenset({4}): 0.25, frozenset({2}): 0.75, frozenset({5}): 0.75, frozenset({1, 3}): 0.5, frozenset({2, 5}): 0.75, frozenset({3, 5}): 0.5, frozenset({2, 3}): 0.5, frozenset({1, 5}): 0.25, frozenset({1, 2}): 0.25, frozenset({2, 3, 5}): 0.5}
[calcConf] frozenset({5})--> frozenset({2}), conf: 1.00
[calcConf] frozenset({2})--> frozenset({5}), conf: 1.00
[calcConf] frozenset({1})--> frozenset({3}), conf: 1.00
[main] minConfidence: 0.7
ruleList: [(frozenset({5}), frozenset({2}), 1.0), (frozenset({2}), frozenset({5}), 1.0), (frozenset({1}), frozenset({3}), 1.0)]

参考文献

[1] PeterHarrington. Machine Learning in Action.

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はじめに

本文には、大文字表現=行列／マトリクス、 $\boldsymbol{bold}$ 小文字表現=ベクトル $R^d$ 、普通小文字表現=スカラー $R$ と記す。

非階層クラスター分析とは異なる性質のものが混ざり合った集団から、互いに似た性質を持つものを集めてクラスターを作る方法である。ただし、予めいくつのクラスターに分けるかは先に決める必要がある。k平均法(k-means)は非階層クラスター分析の一つで、クラスターの平均(Means)を用いて、あらかじめ決められたクラスター数k個に分類する方法である。

k-means

１、全てのサンプルに最も近いクラスタセンタを探る→２、クラスタ平均値(Mean)でクラスタセンタを更新する→再度１を実行する→再度２を実行する、クラスタセンタが変わらないまで１の実行を繰り返す。

実装

複数のポイントを４クラスタに配属する。

ソースコード
https://github.com/soarbear/Machine_Learning/tree/master/k_means

実行

centroids:
[[-2.46149268 -0.60273756]
 [-0.57051504 -3.25574076]
 [ 2.85356363  0.16031334]
 [-3.54201389 -3.13476225]]
centroids:
[[-2.46650438  2.55882843]
 [ 2.12143555 -3.58637036]
 [ 2.8287018   1.4343227 ]
 [-3.59385056 -2.94282822]]
centroids:
[[-2.46154315  2.78737555]
 [ 2.54173689 -3.11892933]
 [ 2.71502526  2.5965363 ]
 [-3.53973889 -2.89384326]]
centroids:
[[-2.46154315  2.78737555]
 [ 2.65077367 -2.79019029]
 [ 2.6265299   3.10868015]
 [-3.53973889 -2.89384326]]

参考文献

[1] PeterHarrington. Machine Learning in Action.

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機械学習の８、決定木

はじめに
実装
結果
参考文献

はじめに

本文には、大文字表現=行列／マトリクス、 $\boldsymbol{bold}$ 小文字表現=ベクトル $R^d$ 、普通小文字表現=スカラー $R$ と記す。

決定木は回帰問題に関するアルゴリズムを実現する。決定木には回帰木(Regression Tree)とモデル木(Model Tree)が含まれる。過学習を防ぐために事前剪定(Pre-Pruning)と、決定木の構築後の剪定即ち事後剪定(Post-Pruning)が導入される。最後に、回帰木と標準線形回帰を比較する。

決定木のデータ分割用の特徴量を選択する一般的な方法としてはID3、C4.5、C5.0、CARTアルゴリズムがある。この記事では、主にCARTアルゴリズムを使用する。

CART

CART(Classification And Regression Tree)は決定木アルゴリズムで、２分再帰分割の手法である。分割方法は最小距離ベースのGini係数推定関数を使用して、現在のデータセットを2つのサブセットに分割して2つのサブ木ができてしまう。よってCARTアルゴリズムによって生成される決定木は単純な２分木である。目的変数がカテゴリ変数のときは回帰木(Regression Tree)だが、目的変数が連続数値変数ならモデル木(Model Tree)が得られる。

分割用特徴量と最適な分割点

決定木を使用して回帰問題を解くには、サブ木を生成する分割点としてある特徴量およびその特徴量の値を選択する必要がある。選択基準は分割されたデータの2つの部分に最高の純度を持たせる。離散データの場合、分割されたデータの2つの部分にGini不純物の変化が所定値以下の際の特徴量と分割点を決める。連続変数の場合、データの分散を最小化する最小２乗残差を計算して得られた特徴量と分割点を決める。直感的に理解は分割されたデータの2つの部分に最も近い値を持たせるという。これで以下分割終了条件を満たすまでにデータを分割する。

分割終了条件

・ノード内すべての目的変数の値は同じで、さらに分割する必要はなくこの値を返す。
・木の深さが事前に指定値に達した。
・不純度は指定値よりも小さい、つまりさらに分割必要ない。
・ノード内のデータ量が指定値より少ない。

実装

・5箇所に集まる離散ポイントの回帰木を作成する。
・線状、連続するように見えるポイントのモデル木を作成する。
・モデル木を作成して線形回帰の結果を比較する。
ソースコード
https://github.com/soarbear/Machine_Learning/tree/master/decision_tree

結果

回帰木

ノード・葉っぱ

regression_tree: {'feat_idx': 0, 'feat_val': 0.400158, 'left': {'feat_idx': 0, 'feat_val': 0.208197, 'left': -0.023838155555555553, 'right': 1.0289583666666666}, 'right': {'feat_idx': 0, 'feat_val': 0.609483, 'left': 1.980035071428571, 'right': {'feat_idx': 0, 'feat_val': 0.816742, 'left': 2.9836209534883724, 'right': 3.9871632}}}

モデル木

ノード・葉っぱ

mode_tree: {'feat_idx': 0, 'feat_val': 0.304401, 'left': matrix([[3.46877936],
        [1.18521743]]), 'right': matrix([[1.69855694e-03],
        [1.19647739e+01]])}

モデル木と、ノード・葉っぱから見ると、特徴量=0.304401を境目とした２段の直線が分かる。

回帰木と線形回帰の比較

compare_regressionTree_with_lineRegressio — 赤：線形回帰　緑：回帰木

相関係数

linear regression correlation coefficient: 0.9434684235674755

regression tree correlation coefficient: 0.9780307932704089

図、相関係数から見ると線形回帰のほうと比べて回帰木のほうがサンプルポイントに良く相関するのが分かる。

参考文献

[1] PeterHarrington. Machine Learning in Action.

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機械学習の７、回帰

はじめに
実装
結果
参考文献

はじめに

本文には、大文字表現=行列／マトリクス、 $\boldsymbol{bold}$ 小文字表現=ベクトル $R^d$ 、普通小文字表現=スカラー $R$ と記す。

回帰は分類と同じく予測プロセスで、分類との違いは回帰で予測される変数が連続的であるのに対して、分類では離散的だという。回帰は統計学で最も有用なツールである。

線形回帰

線形回帰(Linear Regression)は入力 $X$ に定数 $\boldsymbol{w}$ を乗算して出力 $\boldsymbol{y}$ を得ることができる。これには当てはまらないと他に非線形回帰と呼ばれるのがある。 $\boldsymbol{w}$ の推定値 $\hat{\boldsymbol{w}}$ は最小２乗法(Least Squares Method)から求められて、 $\boldsymbol{w}$ として使われる。
$\boldsymbol{y} = X^T\boldsymbol{w} \\ \hat{\boldsymbol{w}} = (X^TX)^{-1}X^T \boldsymbol{y}$
しかし線形回帰の $\hat{\boldsymbol{w}}$ は最小２乗の合計から求めた結果で場合により良い結果を予測できなくつまり未学習(Underfitting)となってしまう。以下重み付きで予測誤差を減らそうとする。

重み付き線形回帰

重み付き線形回帰(Locally Weightedlinear RegRession、LWLR)は、より近いポイントが重みをもつようになると予測の正確さが高まる。 $\hat{\boldsymbol{w}}$ は以下のように求める。
$\hat{\boldsymbol{w}} = (X^TWX)^{-1}X^TW \boldsymbol{y}$ ガウシアンカーネル関数を用いる場合、 $\boldsymbol{w}[i,i] = exp({\frac{|x_i-x|}{-2k^2}}) \\ \boldsymbol{w}[i,j] = 0, \space i \ne j$
しかし標本数は特徴量より少ない場合、上式の逆行列が求められなく差分を補足してリッジ(Ridge)回帰となる。

リッジ(Ridge)回帰

$\hat{\boldsymbol{w}} = (X^TWX+\lambda I)^{-1}X^TW \boldsymbol{y}$
と同時に、相関している特徴量が存在の可能性あるので、交差検証(Cross Classification)を通して最適の $\lambda$ を決める。また特徴量を減少(Shrinkage)する方法がある。以下拘束条件を追加するラッソ回帰がある。

ラッソ(Lasso)回帰

$\sum_{k=1}^n|\boldsymbol{w}_k| \le \lambda$ リッジ(Ridge)回帰、ラッソ(Lasso)回帰より、以下に簡単の方法がある。

前向き段階的回帰

前向き段階的回帰(Forward Stagewise Regression)はラッソ回帰に似てて近い結果が得られる。最初はすべての重みが0に設定されて、各ステップで少しづつ重みの増減を行う。

実装

前向き段階的回帰でポイントグループの回帰係数を求めてみよう。
ソースコード
https://github.com/soarbear/Machine_Learning/tree/master/regression

結果

[[0.    0.    0.    0.001 0.    0.    0.    0.   ]]
[[0.    0.    0.    0.002 0.    0.    0.    0.   ]]
[[0.    0.    0.    0.003 0.    0.    0.    0.   ]]
...
[[ 0.044 -0.011  0.12   0.022  2.023 -0.963 -0.105  0.187]]
[[ 0.043 -0.011  0.12   0.022  2.023 -0.963 -0.105  0.187]]
[[ 0.044 -0.011  0.12   0.022  2.023 -0.963 -0.105  0.187]]

参考文献

[1] PeterHarrington. Machine Learning in Action.

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機械学習の６、AdaBoost

概要
実装の例
結果
参考文献

概要

本文には、大文字表現=行列／マトリクス、 $\boldsymbol{bold}$ 小文字表現=ベクトル $R^d$ 、普通小文字表現=スカラー $R$ と記す。

複数の弱い分類器を使用して強力な分類器が作れるか。この質問からAdaBoost(Adaptive Boosting)が生まれた。そのプロセスは次のようになる。

訓練用の標本に重み $\boldsymbol{d}$ を与える。それらの重み $\boldsymbol{d}$ は等しい値に初期化する。最初に訓練データで弱分類器を訓練して、分類器のエラー率 $\varepsilon$ を計算してから、同じデータセットで訓練を繰り返す。分類器の2回目の訓練では、標本の重み $\boldsymbol{d}$ が再調整する。そのうち正しく分類された標本の重み $\boldsymbol{d}$ を減らして、逆に誤分類標本の重み $\boldsymbol{d}$ を増やす。AdaBoostは複数の弱分類器からそれぞれの分類結果を、それぞれのエラー率に基づいて割り当てられた重み $\alpha$ で、線形合成して最終の結果にする。分類器のエラー率 $\varepsilon$ と重み $\alpha$ 、標本の重み $\boldsymbol{d}$ は以下のようになる。
$\varepsilon = \frac{\sum misclassified \space samples}{\sum samples} \\ \alpha = \frac{1}{2}ln[\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon}]$ 正しい分類の場合、 $\boldsymbol{d}_i^{t+1} = \frac{\boldsymbol{d}_i^t e^{-\alpha}}{\sum_{i=1}^{n}\boldsymbol{d}}$
誤分類の場合、 $\boldsymbol{d}_i^{t+1} = \frac{\boldsymbol{d}_i^t e^{\alpha}}{\sum_{i=1}^{n}\boldsymbol{d}}$

見る瞬間すぐ納得いくようなアルゴリズムなので、実装して結果を確かめよう。

実装の例

AdaBoostの原理で以下5ポイントに対して弱分類器を作って、新たな2ポイントを分類する。

ソースコードhttps://github.com/soarbear/Machine_Learning/tree/master/adaboost

結果

AdaBoostの誤分類がなくなるまで訓練を繰り返すのと複数弱分類器の組み合わせて強分類器になるのがAdaBoostのメリットであり開発に生かしていきたい。

参考文献

[1] PeterHarrington. Machine Learning in Action.

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