オイラー角~ジンバルロック~クォータニオン

オイラー角

オイラー角とは、三次元ユークリッド空間中の2つの直交座標系(デカルト座標系 )の関係を表現する方法の一つである。ロボット、ドローンの姿勢(ポーズ、向き)を直観に表現するには、オイラー角を用いることがある。オイラー角は3つの角度の組に、3座標軸まわりの回転順序(計12通りもある)で表されるので、オイラー角の変数は4つである。ロボットが姿勢Aから姿勢Bへ変わる際に、例えばx軸-y軸-z軸の順にx-y-z系オイラー角 \( (\alpha,\beta,\gamma) \) で回転することで姿勢の転換を表すことが可能である。姿勢B座標 = 回転行列・姿勢A座標より、姿勢A座標から回転後の姿勢B座標が求められる。姿勢A座標、姿勢B座標が分かれば、回転行列からオイラー角が求められる場合ある。積 \( R_{z}( \gamma ) R_{y}( \beta )R_{x}( \alpha ) \) は、x-y-z系で表したときのオイラー角が \( (\alpha,\beta,\gamma) \) であるような回転を表す回転行列\( R(\alpha,\beta,\gamma) \)である。

また、回転軸がワールド座標軸ローカル座標軸により、オイラー角が以下の2種類ほどある。
・ワールド座標系の3つの軸を中心とした回転、座標軸は静止しているので、静的オイラー角と呼ばれる。
・ローカル座標系の3つの軸を中心とした回転で、回転中に座標軸がロボットとともに回転するため、動的オイラー角と呼ばれる。

ロボットやドローンが移動の際、ワールド座標系を参照できないと、姿勢の転換を表す動的オイラー角を使うしかない場合がある。

ジンバルロック現象、他の問題点

オイラー角の問題点として、動的オイラー角を使用すると、オイラー角そのものの定義より、ジンバルロック現象を起こしてしまう場合がある。但し、静的オイラー角にはジンバルロック現象が起きない。オイラー角の2番目の回転角度が±π/2であれば、1番目と3番目の回転が同じ回転軸になることで、1自由度が失われて、また回転行列より、\( \alpha,\gamma \)の解は無限にあることをジンバルロック現象と呼ばれる。また他にジンバルロック現象を起こさないオイラー角\( (\alpha,\beta,\gamma) \)に対して、\( (\alpha+π,π−\beta,\gamma+π) \)の回転で同じ姿勢になる問題点もある。

よって、以下の条件付きであれば、ジンバルロック現象が除けて、オイラー角でロボットの姿勢を表すのが一意になる。言い換えれば、回転行列がオイラー角と一対一に対応することになる。

・ \( \beta ∈ (-π/2, π/2), \alpha,\gamma ∈ [-π, π] \)

しかし、オイラー角\( (\alpha,\beta,\gamma) \)を制限するのは無理の場合、オイラー角からクォータニオン・四元数の登場となる。

また、オイラー角の2番目の回転軸が1番目の回転軸 x 3番目の回転軸の外積の方向にある。つまり、2番目の回転軸が1番目と3番目の回転軸と直交する。1番目と3番目の回転軸の外積が0になるのが、ジンバルロック現象が発生する場合である。

クォータニオン、四元数

姿勢の表現には、オイラー角の3回転よりも、単純に回転軸と回転軸まわりの1回転で済む場合、クォータニオンが用いられる。クォータニオンの変数の個数がオイラー角と同様に4つであり、クォータニオンを見るだけでは姿勢転換のイメージが難しい。回転行列からオイラー角を求めるのと、逆に回転順とオイラー角から回転行列を求めるのが面倒だが、クォータニオンで回転を表現するとさっぱりとなる。

例えば以下のように、ベクトルxで表すロボットの姿勢Aを原点を通る単位ベクトルu回転軸として、右ねじが進む方向に角θだけ回転させて、ベクトルx’で表すロボットの姿勢Bになると、以下に優雅なる表現がある。$$ x’=q x \bar{q} \\ q=cos \frac{θ}{2} + u sin \frac{θ}{2} \\ \bar{q}=cos \frac{θ}{2} – u sin \frac{θ}{2} $$
但し、\( u=iu_1+ju_2+ku_3 \)

また、回転 \(q_1\)に引き続き、回転 \(q_2\)を行う場合、次のように書くと良い、
$$ x’=(q_{2}q_{1})x(\bar{q_{1}}\bar{q_{2}}) $$

参考文献

・wiki: オイラー角
・wiki: 四元数

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