SLAM～拡張カルマンフィルタ

概要

SLAM（ロボットの自己位置推定、マッピング同時に行うこと）に使用可能なセンサは、色々とあるが、それぞれ単一のセンサでは完璧ではないため、複数のセンサ情報を、統計的・確率的に組み合わせて、より精密で安定した自己位置を得る手法が一般的だ。状態値（位置、姿勢またはポーズ）、観測値とも正規分布（ガウス分布）に近似可能の場合、カルマンフィルタKFが適用される。また、非線形問題に対して、拡張カルマンフィルタEKFが適用される。勿論、UKF他のフィルタが存在する。なぜかROSに公式に採用されたのはEKFのようだ。ここでは、タイヤパルスセンサ（ホール式や、光学式エンコーダ）からのodom情報と距離センサ(レーザや、カメラなど)からの位置情報を組み合わせて、マッピング地図がある前提でロボットの自己位置、姿勢に拡張カルマンフィルタをかけて推定してみる。

状態空間モデル

$$x_t = f_{t-1}(x_{t-1}^{true}+p_{t-1}) + q_{t-1}\\=\scriptsize\begin{bmatrix}x_{t-1}+v_{t-1}\cdot Δt\cdot cosψ_{t-1} & 0 & 0 \\0 & y_{t-1}+v_{t-1}\cdot Δt\cdot sinψ_{t-1} & 0\\0 & 0 & ψ_{t-1}+ω_{t-1}\cdot Δt\end{bmatrix}+q_{t-1}$$
$$y_t = H_t(x_t^{true}) + r_t\\=\begin{bmatrix}x_t\\y_t\end{bmatrix}+ r_t$$

拡張カルマンフィルタの適用

予測ステップ

事前状態推定値

$$\bar{x}_t=\scriptsize\begin{bmatrix}\hat{x}_{t-1}+v_{t-1}\cdot Δt\cdot cos\hat{ψ}_{t-1} & 0 & 0 \\0 & \hat{y}_{t-1}+v_{t-1}\cdot Δt\cdot sin\hat{ψ}_{t-1} & 0\\0 & 0 & \hat{ψ}_{t-1}+ω_{t-1}\cdot Δt\end{bmatrix}$$

線形化近似（ヤコビアン行列）

$$\hat{F}_t =\frac{\partial f_t(x)}{\partial x}|_{x=\hat{x}_{t-1}}\\=\begin{bmatrix}1 & 0 & -v_{t-1}\cdot Δt\cdot sin\hat{ψ}_{t-1} \\0 & 1 & v_{t-1}\cdot Δt\cdot cos\hat{ψ}_{t-1}\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$

事前誤差共分散行列

$$\bar{P_t} = \hat{F}_{t-1}\hat{P}_{t-1}\hat{F}_{t-1}^T + Q_{t-1}$$

フィルタリングステップ

カルマンゲイン行列

$$K_t = \bar{P_t}H_t^T(H_t\bar{P_t}H_t^T + R_t)^{-1}$$

状態推定値

$$\hat{x_t} = \bar{x_t} + K_t(y_t – H_t\bar{x_t})$$

事後誤差共分散行列

$$\hat{P_t} = (I-K_tH_t)\bar{P_t}$$

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