ブラシレスDCモータ～Ｈブリッジ回路

概要

DCブラシレスモータはブラシや整流子に依存しなくなり、代わりに整流用の半導体デバイスを使用する。同期モータの一種で、特性はDCモータと同様。速度はモータ電圧に比例し、トルクはモータ電流に比例する。下図のように、回転部としてのロータは外側にある、アウターロータ型モータと呼ばれるのを例に説明してみる。回転子の内周には磁石が配置されており、U、V、W相コイルの位置は120°ずれている。三相コイルは中心（中性点）で互いに接続されている。U、V、W相コイルの外側にホールセンサが配置され、出力信号はプルアップされて制御プロセッサに入力される。アウターロータ（回転子、磁石）のN極がホールセンサに近いときはH、S極がホールセンサに近いときはLとなる。

三相ブラシレスDCモータの例
三相ブラシレスDCモータの例

Ｈブリッジ回路でモータ制御

ブラシレスDCモータを駆動するＨブリッジ回路の一例は下図のように示される。

BLDCM_H-bridge
BLDCM_H-bridge

下図のように、120°矩形波のU、V、W相ホールセンサと、U、V、W相電圧のH、Lの対応関係が分かる。
BLDCM_Pullup
BLDCM_Pullup

よって、アウターロータが一周360°回転の場合、U、V、W相ホールセンサのUH、UL、VH、VL、WH、WLがそれぞれ180°、U、V、W相電圧のUH、UL、VH、VL、WH、WLがそれぞれ120°と分かる。
ブラシレスDCモータには、FOC（ベクトル周波数変換、磁界ベクトル方向制御とも呼ばれる）、方形波制御（台形波制御、120°制御、6ステップ整流制御とも呼ばれる）、正弦波制御の3つの主な制御方法がある。

矩形波制御

矩形波制御は、ホールセンサまたは無誘導推定アルゴリズムを使用してモータの回転子の位置を取得し、360°の電気サイクルで回転子の位置に応じて6回の転流（60°の転流ごと）を実行する。各転流位置モータは特定の方向に力を出力するので、矩形波制御の位置精度は電気的に60°であると言える。この制御では、モータの相電流波形は方形波に近いため、矩形波制御と呼ばれている。

正弦波制御

正弦波制御方式はSVPWM波を使用し、出力は三相正弦波電圧であり、対応する電流も正弦波電流。矩形波制御と比較してトルク変動が少なく、高調波が少なく、制御時の「細かい」感じが明らかだが、制御器の性能要件は矩形波制御よりわずかに高く、モータ効率が発揮できない。

FOC制御

正弦波制御は、電圧ベクトルの制御を実現し、間接的に電流の大きさの制御を実現するが、電流の方向を制御することはできない。 FOC制御は、電流ベクトルの制御、すなわちモータの固定子磁界のベクトル制御を実現する正弦波制御の改良版と見なすことができる。

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粒子フィルタ

はじめに

ガウス分布に従う時系列確率変数の非線形関数は必ずしもガウス分布にならない、また非ガウス分布の確率変数が存在するから、優雅なるカルマンフィルタファミリーには限界あり、無理な場合がある。非線形、非ガウス時系列空間モデルに対して、1990年代から未知の状態密度関数p(x)に対して、既知の密度関数q(x)、p(x)⊂q(x) から逐次モンテカルロ法（逐次重要性サンプリングSequential Importance Samplingに、リサンプリングResampling）による粒子フィルタ（パーティクル・フィルタ、PF）が提案されて以来、研究・応用が活発になっている。粒子フィルタがROSのSLAM Gmappingアルゴリズムに組まれている。

粒子フィルタ

状態空間モデル

・システムモデル（状態方程式）
$$x_t = f_t(x_{t-1},v_t)$$

・観測モデル（観測方程式）
$$y_t = h_t(x_t,w_t)$$

ただし、\( v_t、w_t\)はフィルタリングをかける事前に既知で、非ガウス分布可能、\( y_t\)は２項分布またポアソン分布に従うcount dataのモデル化なども可能になる。また、粒子フィルタには、\( v_t、w_t\)はガウス分布でも構わない。
以下に粒子\( x_t^{[i]} \)～\( f_t (x_t^{[i]} | x_{t−1}^{[i]}, v_t) \)として、粒子フィルタリングの手順を示す。

粒子フィルタリングの手順

１、初期化\( (t=0) \)
初期分布\( f_t (x_0^{[i]}, v_0) \)に従って、n個の粒子\( \{x^{[i]}_0 | i = 1,2, ⋯ ,n\} \)を無作為に発生させる。

２、一期先予測\( (t=t+1) \)
粒子\( x_t^{[i]} \)を\( f_t (x_t^{[i]} | x_{t−1}^{[i]}, v_t) \)に従って状態推移させ、それぞれの類似値が\(x_t^{[i]}\)である粒子の集合\( \{\hat{x}^{[i]}_t | i = 1,2, ⋯ ,n\} \)を発生させる。

３、フィルタリング
・重み計算
粒子\( \hat{x}_t^{[i]} \) の重み\( w_t^{[i]} = p(y_k | \hat{x}_k^{[i]}) \)を計算する。
ただし、\( p(y_k | \hat{x}_k^{[i]}) \)は、尤度であり、観測値または類似値ではないことに注意する。

・重みの正規化
$$\hat{w}_t^{[i]} = \frac{w_t^{[i]}}{ \sum_{i=1}^n w_t^{[i]} }$$

・リサンプリング
粒子\( \hat{x}^{[i]}_0 \)を\(\hat{w}_t^{[i]}\)に従った確率でリサンプリングし、粒子集合\( \{x^{[i]}_t | i = 1,2, ⋯ ,n\} \)を発生させる。

・２に戻る

参考文献

粒子フィルタ、著者：樋口知之 先生

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SLAM～Unscentedカルマンフィルタ

はじめに

UKF(Unscented kalman filter)では無損変換(Unscented Transform)の線形化手法を利用し、つまり(2*n次元+1)個Sigma Pointの線形回帰に基づき、確率変数の非線形関数を線形化する。確率変数の拡張を考慮するので、この線形化は拡張カルマンフィルタEKFで使用するテイラー級数線形化より比較的正確に状態推定できる他、EKFと違い、状態・観測ヤコビアン行列を求める必要でなく、但しEKFと同様にUKFも予測と更新の手順から時系列の状態推定を行う。状態変数、観測変数ともガウス分布に当てるのがカルマンフィルタKFの共通特徴という。またガウス分布に当てないパーティクル(和文粒子、英文Particle)フィルタPFがある。そもそもガウス分布に従う確率変数の非線形関数はガウス分布にならないから、EKF、UKFよりPFの方が精度よく、ROSのSLAM Gmappingアルゴリズムに組まれている。

Unscented Kalman Filter

状態空間モデル

状態モデル（状態方程式）
$$x_t = F \cdot x_{t-1} + B \cdot u_{t-1} + q_{t-1} \\\scriptsize=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{t-1}\\y_{t-1}\\ψ_{t-1}\\v_{t-1}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}Δt\cdot cosψ_{t-1}&0\\Δt\cdot sinψ_{t-1}&0\\0&Δt\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_{t-1}\\ψ_{t-1}\end{bmatrix}+q_{t-1}$$

観測モデル（観測方程式）
$$z_t = H \cdot x_t + r_t \\=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_t\\y_t\\ψ_t\\v_t\end{bmatrix}+r_t$$

予測ステップ

$$χ_{t-1}=(x_{t-1} , x_{t-1}+γ\sqrt{{\sum}_{t-1}} , x_{t-1}-γ\sqrt{{\sum}_{t-1}})\\
\bar{χ}_t^{*}=g(u_t,χ_{t-1})\\
\bar{x}_t=\sum_{i=0}^{2n} w_m^{[i]} \bar{χ}_t^{*[i]}\\
\bar{\sum}_t=\sum_{i=0}^{2n} w_c^{[i]}(\bar{χ}_t^{*[i]}-\bar{x}_t)(\bar{χ}_t^{*[i]}-\bar{x}_t)^T +R_t\\
\bar{χ}_{t}=(x_{t} , x_{t}+γ\sqrt{{\sum}_{t}} , x_{t}-γ\sqrt{{\sum}_{t}})\\
\bar{Z}_{t}=h(\bar{χ}_{t})\\
\hat{z}_{t}=\sum_{i=0}^{2n} w_m^{[i]} \bar{Z}_{t}^{[i]}\\
S_t=\sum_{i=0}^{2n} w_c^{[i]}(\bar{Z}_t^{[i]}-\hat{z}_t)(\bar{Z}_t^{[i]}-\hat{z}_t)^T +Q_t\\
\bar{\sum}^{x,z}_t=\sum_{i=0}^{2n} w_c^{[i]}(\bar{χ}_t^{[i]}-\bar{x}_t)(\bar{Z}_t^{[i]}-\hat{z}_t)^T
$$

更新ステップ

$$K_t=\bar{\sum}^{x,z}_t S^{-1}_t\\
x_t = \bar{x}_t+K_t(z_t-\hat{z}_t)\\
{\sum}_t = \bar{\sum}_t-K_t S_t K^T_t$$

参考文献

Probabilistic Robotics/Sebastian Thrun, Wolfram Burgard and Dieter Fox.

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SLAM～拡張カルマンフィルタ

概要

SLAM（ロボットの自己位置推定、マッピング同時に行うこと）に使用可能なセンサは、色々とあるが、それぞれ単一のセンサでは完璧ではないため、複数のセンサ情報を、統計的・確率的に組み合わせて、より精密で安定した自己位置を得る手法が一般的だ。状態値（位置、姿勢またはポーズ）、観測値とも正規分布（ガウス分布）に近似可能の場合、カルマンフィルタKFが適用される。また、非線形問題に対して、拡張カルマンフィルタEKFが適用される。勿論、UKF他のフィルタが存在する。なぜかROSに公式に採用されたのはEKFのようだ。ここでは、タイヤパルスセンサ（ホール式や、光学式エンコーダ）からのodom情報と距離センサ(レーザや、カメラなど)からの位置情報を組み合わせて、マッピング地図がある前提でロボットの自己位置、姿勢に拡張カルマンフィルタをかけて推定してみる。

状態空間モデル

$$x_t = f_{t-1}(x_{t-1}^{true}+p_{t-1}) + q_{t-1}\\=\scriptsize\begin{bmatrix}x_{t-1}+v_{t-1}\cdot Δt\cdot cosψ_{t-1} & 0 & 0 \\0 & y_{t-1}+v_{t-1}\cdot Δt\cdot sinψ_{t-1} & 0\\0 & 0 & ψ_{t-1}+ω_{t-1}\cdot Δt\end{bmatrix}+q_{t-1}$$
$$y_t = H_t(x_t^{true}) + r_t\\=\begin{bmatrix}x_t\\y_t\end{bmatrix}+ r_t$$

拡張カルマンフィルタの適用

予測ステップ

事前状態推定値

$$\bar{x}_t=\scriptsize\begin{bmatrix}\hat{x}_{t-1}+v_{t-1}\cdot Δt\cdot cos\hat{ψ}_{t-1} & 0 & 0 \\0 & \hat{y}_{t-1}+v_{t-1}\cdot Δt\cdot sin\hat{ψ}_{t-1} & 0\\0 & 0 & \hat{ψ}_{t-1}+ω_{t-1}\cdot Δt\end{bmatrix}$$

線形化近似（ヤコビアン行列）

$$\hat{F}_t =\frac{\partial f_t(x)}{\partial x}|_{x=\hat{x}_{t-1}}\\=\begin{bmatrix}1 & 0 & -v_{t-1}\cdot Δt\cdot sin\hat{ψ}_{t-1} \\0 & 1 & v_{t-1}\cdot Δt\cdot cos\hat{ψ}_{t-1}\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$

事前誤差共分散行列

$$\bar{P_t} = \hat{F}_{t-1}\hat{P}_{t-1}\hat{F}_{t-1}^T + Q_{t-1}$$

フィルタリングステップ

カルマンゲイン行列

$$K_t = \bar{P_t}H_t^T(H_t\bar{P_t}H_t^T + R_t)^{-1}$$

状態推定値

$$\hat{x_t} = \bar{x_t} + K_t(y_t – H_t\bar{x_t})$$

事後誤差共分散行列

$$\hat{P_t} = (I-K_tH_t)\bar{P_t}$$

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YDLidar G4のSLAMパラメータ

移動ロボット用レーザースキャナとしてのYDLidar G4のgmappingとhector mappingのパラメータが以下のようにご参考まで。必要に応じてパラメータをご変更してみてください。

gmapping

gmappingに関わるROSパッケージをインストールしておく。

$sudo apt-get install ros-indigo-gmapping
$sudo apt-get install ros-indigo-slam-gmapping

gmappingパラメータ設定の例。

<launch>
  <node pkg="tf" type="static_transform_publisher" name="base_link_2_laser" args="0 0 0 0 0 0 base_link laser 100" /> <!--change -->
  <node pkg="tf" type="static_transform_publisher" name="odom_2_base_link" args="0 0 0 0 0 0 odom base_link 100" /> <!--change -->
  <node pkg="gmapping" type="slam_gmapping" name="simple_gmapping" output="screen"><!--change -->
      <!--remap from="scan" to="base_scan"/-->
      <param name="map_update_interval" value="5.0"/>
      <param name="maxUrange" value="16.0"/>
      <param name="sigma" value="0.05"/>
      <param name="kernelSize" value="1"/>
      <param name="lstep" value="0.05"/>
      <param name="astep" value="0.05"/>
      <param name="iterations" value="5"/>
      <param name="lsigma" value="0.075"/>
      <param name="ogain" value="3.0"/>
      <param name="lskip" value="0"/>
      <param name="minimumScore" value="50"/>
      <param name="srr" value="0.1"/>
      <param name="srt" value="0.2"/>
      <param name="str" value="0.1"/>
      <param name="stt" value="0.2"/>
      <param name="linearUpdate" value="0.3"/>
      <param name="angularUpdate" value="0.4"/>
      <param name="temporalUpdate" value="3.0"/>
      <param name="resampleThreshold" value="0.5"/>
      <param name="particles" value="30"/>
      <param name="xmin" value="-5.0"/>
      <param name="ymin" value="-5.0"/>
      <param name="xmax" value="5.0"/>
      <param name="ymax" value="5.0"/>
      <param name="delta" value="0.05"/>
      <param name="llsamplerange" value="0.01"/>
      <param name="llsamplestep" value="0.01"/>
      <param name="lasamplerange" value="0.005"/>
      <param name="lasamplestep" value="0.005"/>
  </node>
</launch>

ROS wiki：gmapping

hector mapping

hector mappingに関わるROSパッケージをインストールしておく。

$sudo apt-get install ros-indigo-hector-slam

hector mappingパラメータ設定の例。

<launch>
  <node pkg="tf" type="static_transform_publisher" name="base_link_2_laser" args="1 0 0 0 0 0 base_link laser 100" /> <!--change -->
  <node pkg="hector_mapping" type="hector_mapping" name="hector_height_mapping" output="screen">
    <param name="scan_topic" value="scan" />
    <param name="base_frame" value="base_link" />
    <param name="odom_frame" value="base_link" />
    <param name="output_timing" value="false"/>
    <param name="advertise_map_service" value="true"/>
    <param name="use_tf_scan_transformation" value="true"/>
    <param name="use_tf_pose_start_estimate" value="false"/>
    <param name="pub_map_odom_transform" value="true"/>
    <param name="map_with_known_poses" value="false"/>
    <param name="map_pub_period" value="0.5"/>
    <param name="update_factor_free" value="0.45"/>
    <param name="map_update_distance_thresh" value="0.02"/>
    <param name="map_update_angle_thresh" value="0.1"/>
    <param name="map_resolution" value="0.05"/>
    <param name="map_size" value="1024"/>
    <param name="map_start_x" value="0.5"/>
    <param name="map_start_y" value="0.5"/>
  </node>
</launch>

ROS wiki：hector mapping

YDLidar G4販売店

YDLIDAR G4 360度レーザースキャナー開発キット

以上

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