windows10/ubuntu14.04デュアルブート

経緯

Lenovo L560にすでにwindows7 32bitがインストール済み、CPUのi5 6300Uが省エネ優先なので、バーチャル環境を辞めて、敢えてubuntu14.04とデュアルブートしようとした。

試行錯誤

USBでブート可能なubuntu14.04 64bitをインストールできなく、CDROMに変えて現象同様、USBでもCDでもブートすらできない状態に陥った。windows7 32bitが入っており、もしかしたらPCが32bitしかサポートできないか、先に、windows7 32bitをwindows 10 64bit proにアップグレートして成功した。次に、またUSBでubuntu14.04 64bitインストール失敗、windows7 32bitとの現象とは同様、というのは別の問題が抱えていた。BiosでSecurity BootをDisabeにして、Boot modeをUEFI Firstにして、CDROMでubuntu14.04 64bitがブート成功した。これでubuntu14.04 64bitがインストールできた。

いくつかの注意点

・windows 10にてdisk managementを起動して、NFTSパーティションを縮小して、フリーパーティション用意しておく。
・Ubuntu 14.04 64bit のインストールに、Install type をsomthing elseにして、windows 10で用意したフリーパーティションを使用する。
・フリーパーティションをext4 formatで/パーティション 、/homeパーティションを作り、またswap areaを10GB程度作る。
・/パーティションにubuntuのブートエリアにして、インストールを開始する。
・これまでデュアルブートの環境がほぼ用意できた。

Bootメニューの表示

このままだと、ブートメニューが表示せず、困るので、EasyBCD v2.4をwindows 10側にインストールして、ubuntuブートを新規追加して、
ブートメニューが出た。またUbuntu側で、grub設定を編集したことで、GRUBが開かれた際の初期カーソル位置がWindowsになるように設定できる。

#nano /etc/default/grub
GRUB_DEFAULT="Windows10 pro"
GRUB_TIMEOUT=30
#update-grub
#reboot

またもや問題点

L560のubuntu14.04が立ち上がったら、ethernet、wifiとも使えなく、ifconfigでもNICを認識できない症状ある。

$lspci | grep "Ethernet\|Network"
00:1f.6 Ethernet controller: Intel Corporation Ethernet Connection 156f (rev 21)
02:00.0 Network controller: Intel Corporation Wireless 8260 (rev 3a)

https://downloadcenter.intel.com/download/15817 からe1000e-3.4.2.1.tar.gzをダウンロードする。
https://cateee.net/lkddb/web-lkddb/NET_VENDOR_INTEL.html からはe1000e シリーズでいけるかと知った。
他のマシンでダウンロードし、ubuntu-PCにUSBメモリなどでコピーして、srcディレクトリに移動して次のコマンドを実行する。

$sudo make install
$sudo modprobe -r e1000e
$sudo modprobe e1000e
$lsmod | grep e1000e

これでEhernetが接続できるようになる。

$sudo apt-get update
$sudo apt-get upgrade
$lspci | grep Nework
02:00.0 Network controller: Intel corporation Wireless 8260(rev 3a)
$uname-r
3.13.0-24-generic

kernalバージョンは3.13.0-24-generic、Intel 8260がkernal 4.2以上では利用可能なので、wifiはとりあえず放っておき、Ethernetだけでやっていくことにした。
追記:以下を実行することでwifiが使えるようになった。

$sudo modprobe iwlwifi

以上

2+

研究開発・検証試作に提案するロボット翔・電子部品ストアにロボット・ドローン関連部品が品揃えています。どうぞご利用ください

メカナム車輪四駆の運動学方程式

4wdメカナム車輪駆動の運動方程式
4wdメカナム車輪駆動の運動方程式

順運動学forward kinematic方程式

メカナム車輪の回転速度はロボット車体中心のx・y軸方向線形速度とz軸まわりの角速度より、以下の式(順運動学方程式)で表される。

// 左右輪距離、前後輪距離
#define WHEEL_SEPARATION_WIDTH DISTANCE_LEFT_TO_RIGHT_WHEEL/2
#define WHEEL_SEPARATION_LENGTH DISTANCE_FRONT_TO_REAR_WHEEL/2
// 回転速度単位:rad / s
wheel_front_left =(linear.x-linear.y-(WHEEL_SEPARATION_WIDTH+WHEEL_SEPARATION_LENGTH)*angular.z)/WHEEL_RADIUS;
wheel_front_right=(linear.x+linear.y+(WHEEL_SEPARATION_WIDTH+WHEEL_SEPARATION_LENGTH)*angular.z)/WHEEL_RADIUS;
wheel_rear_left  =(linear.x+linear.y-(WHEEL_SEPARATION_WIDTH+WHEEL_SEPARATION_LENGTH)*angular.z)/WHEEL_RADIUS;
wheel_rear_right =(linear.x-linear.y+(WHEEL_SEPARATION_WIDTH+WHEEL_SEPARATION_LENGTH)*angular.z)/WHEEL_RADIUS;
// 右に配置されるたモータの逆転が必要
wheel_front_right=-1*wheel_front_right
wheel_rear_right =-1*wheel_rear_right

順運動学方程式の簡単な証明

ロボットがx軸方向へ移動の場合
$$\begin{bmatrix}v_{front-left}\\v_{front-right}\\v_{rear-left}\\v_{rear-right}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}linear.x\\linear.x\\linear.x\\linear.x\end{bmatrix}$$
ロボットがy軸方向へ移動の場合
$$\begin{bmatrix}v_{front-left}\\v_{front-right}\\v_{rear-left}\\v_{rear-right}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-linear.y\\linear.y\\linear.y\\-linear.y\end{bmatrix}$$
z軸まわりロボット中心をめぐる回転の場合
$$\begin{bmatrix}v_{front-left}\\v_{front-right}\\v_{rear-left}\\v_{rear-right}\\width\\length\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-(width+length)*angular.z/2\\(width+length)*angular.z/2\\-(width+length)*angular.z/2\\(width+length)*angular.z/2\\distance_{left2right}\\distance_{front2rear}\end{bmatrix}$$
以上の式を合わせると、順運動学方程式が導かれる。

逆運動学forward kinematic方程式

ロボット車体中心のx・y軸方向線形速度とz軸まわりの角速度は、メカナム車輪の回転速度より、以下の式(逆運動学方程式)で表される。

linear.x =(wheel_front_left+wheel_front_right+wheel_rear_left+wheel_rear_right)*WHEEL_RADIUS/4;
linear.y =(-wheel_front_left+wheel_front_right+wheel_rear_left-wheel_rear_right)*WHEEL_RADIUS/4;
angular.z=(-wheel_front_left+wheel_front_right-wheel_rear_left+wheel_rear_right)*WHEEL_RADIUS/(4*(WHEEL_SEPARATION_WIDTH+WHEEL_SEPARATION_LENGTH))

以上

2+

研究開発・検証試作に提案するロボット翔・電子部品ストアにロボット・ドローン関連部品が品揃えています。どうぞご利用ください

6軸IMU~拡張カルマンフィルタ

概要

6軸IMU(慣性センサ)3軸加速度センサ + 3軸ジャイロセンサ。3軸加速度センサにてセンサローカル座標系(センサ座標系と称す)の3軸における重力加速度gの分量が出力され、観測方程式によりワールド座標系から見たピッチ・ロール角が計算できる。3軸ジャイロセンサからセンサ座標系の3軸まわりの角速度が出力され、状態方程式によりワールド座標系から見たピッチ・ロール角・ヨー角が計算できる。また、誤差(ノイズ)が存在し、そしてドリフトが蓄積していくので、補正の必要がある。補正には、拡張カルマンフィルタ状態空間モデルが利用できる。

3軸加速度センサ

3軸加速度センサのローカル座標のX軸・Y軸・Z軸とも回転する場合

3軸加速度計のX軸・Y軸・Z軸とも回転する
3軸加速度計のX軸・Y軸・Z軸とも回転する

回転行列

センサ座標系⇒ワールド座標系の回転行列R(ℇ)は、オイラー角がXYZ軸まわりの回転順として、
$$R(ℇ) = R_z(ψ)R_y(θ)R_x(ϕ)$$
$$R(ℇ) = \begin{bmatrix}cosψ&-sinψ&0\\sinψ&cosψ&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cosθ&0&sinθ\\0&1&0\\-sinθ&0&cosθ\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&cosϕ&-sinϕ\\0&sinϕ&cosϕ\end{bmatrix}$$

観測方程式

$$A_{world} = \begin{bmatrix}0&0&-g\end{bmatrix}^T , A_{sensor} = \begin{bmatrix}Ax&Ay&Az\end{bmatrix}^T$$
$$A_{world} = R(ℇ)A_{sensor} ⇒ A_{sensor} = R(ℇ)^T A_{world}$$
$$\begin{bmatrix}Ax\\Ay\\Az\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}csψcsθ&snψcsθ&-snθ\\csψsnθsnϕ-snψcsϕ&snψsnθsnϕ+csψcsϕ&csθsnϕ\\csψsnθsnϕ+snψsnϕ&snψsnθcsϕ-csψsnϕ&csθcsϕ\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\0\\-g\end{bmatrix}$$
ただし、cs = cos 、sn = sin
よって、3軸加速度センサの観測方程式は以下の式で表される。また、Ax、Ay、Azは、ヨー角ψと関係ないことに気付き、逆にヨー角ψは、3軸加速度センサで推定できないことが分かる。
$$\begin{bmatrix}Ax\\Ay\\Az\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}gsinθ\\-gcosθsinϕ\\-gcosθcosϕ\end{bmatrix}$$

傾斜角度

よって、重力加速度gの分量により3軸加速度計センサの傾斜角度が以下の式で表される。
$$\begin{bmatrix}ϕ\\θ\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}tan^{-1} -\frac{Ay}{Az}\\tan ^{-1}\frac{Ax}{\sqrt{Ay^2 + Az^2}}\end{bmatrix}$$
ただし、ϕ、θは、それぞれワールド座標系から見たロール・ピッチ角と呼ばれる。ジンバルロック現象を避けたいので、ϕ ≠ ±90°。
なお、ワールド座標系のヨー角は、3軸加速度センサだけでは推定できないゆえに、3軸ジャイロセンサまたはコンパスセンサが必要になる。しかし、センサ融合手法として活用された拡張カルマンフィルタは、複数のセンサとも推定できる角度しか求めないので、ヨー角は、以下の拡張カルマンフィルタの状態方程式から除外される。ヨー角の求め方について、角速度ωzの時間積分して単独に求める。ヨー角の精度も高めるには、ヨー角を別途観測可能なコンパスセンサを加え、これで9軸IMU = 6軸IMU + 3軸コンパスセンサになる。9軸IMUについては、別途検討してみる。

3軸ジャイロセンサ

coordinate
coordinate

状態方程式

センサ座標系のジャイロセンサ角速度のωx、ωy、ωz(*)のまわり軸が互いに直交して、ワールド座標系のオイラー角の微分(**)のまわり軸が必ずしも直交してないので、(*)と(**)の相互関係を求めるには、オイラー角の微分がワールド座標系の軸まわりへ分量に変換する必要がある。ややこしい。
$$R(ℇ)\begin{bmatrix}ωx\\ωy\\ωz\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\\dot{ψ}\end{bmatrix}+R_z(ψ)\begin{bmatrix}0\\\dot{θ}\\0\end{bmatrix} + R_z(ψ)R_y(θ)\begin{bmatrix}\dot{ϕ}\\0\\0\end{bmatrix}$$
よって、回転行列を利用して、センサ座標系の角速度から、ワールド座標系のオイラー角の微分が求められる。
$$\begin{bmatrix}\dot{ϕ}\\\dot{θ}\\\dot{ψ}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&sinϕtanθ&cosϕtanθ\\0&cosϕ&-sinϕ\\0&−sinϕsecθ&cosϕsecθ\end{bmatrix}\begin{bmatrix}ωx\\ωy\\ωz\end{bmatrix}$$
ただし、ϕ、θ、ψはそれぞれワールド座標系から見たロール・ピッチ・ヨー角、ωx、ωy、ωzはセンサ座標系でのx、y、z軸周りの角速度を表す。ワールド座標系からセンサ座標系への回転はヨー・ピッチ・ロールの順とする。

回転角度での状態方程式の表現

ジャイロセンサの角速度からワールド座標系から見たロール・ピッチ角の計算は以下の式にて表される。
$$\begin{bmatrix}ϕ\\θ\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}ϕ+\dot{ϕ}Δt\\θ+\dot{θ}Δt\end{bmatrix}$$
ただし、ヨー角の積分、加算はここで省略する。
*センサ座標系で3軸加速度センサから傾斜角度と3軸ジャイロセンサから回転角度を求めて、静的重み付け(経験値)で加算するセンサ融合の手法がある。出典4.を参照する。

誤差の補正

加速度センサの精度が悪く、とくに運動中の場合、但し加速度センサの誤差が蓄積しない。ジャイロセンサの精度が良く、但しドリフト現象が起きる。ドリフトにより、誤差がじわじわと蓄積していく。それで、補正しないといけない。加速度センサにジャイロセンサの出力値を組み合わせて、静的重み係数(経験値)を付ける相補フィルタに対して、時系列分析から異なるセンサの出力値に信頼性に関わる動的重み係数を付ける、いわゆるカルマンフィルタ(Kalman Filter)の再帰的アルゴリズム(手法)がある。フィルタとは誤差(ノイズ)をフィルタリングする意味合いがある。性能からみれば、論理的にカルマンフィルターが良いといわれる。

カルマンフィルタ

wikipedia: カルマンフィルタ (Kalman Filter、KFと略す) は、誤差のある観測値を用いて、ある動的システムの状態を推定あるいは制御するための、無限インパルス応答フィルタの一種である。この解釈では理解できたというわけではなく、以下カルマンフィルター、拡張カルマンフィルタで状態を推定してみる。

状態空間モデル

状態方程式、観測方程式は以下のとおり。
$$\begin{eqnarray*}&& x_t = F_{t-1}(x_{t-1}) + w_{t-1}\\&& y_t = H_t(x_t) + v_t\end{eqnarray*}$$
ただし、F(・)、H(・)は実装に際して、3軸加速度センサ、3軸ジャイロセンサに掲載した状態方程式、観測方程式のとおりで利用する。システム誤差、観測誤差の分布は期待値が0の正規分布(ガウス分布)にする。
$$\begin{eqnarray*}&& w_t \in N(0,Wt)\\&& v_t \in N(0,Vt)\end{eqnarray*}$$

パラメータ初期化

$$\begin{eqnarray*}&& \hat{x}_0 = E(x_0)\\&& \hat{P_0} = E((x_0-\hat{x_0})(x_0-\hat{x_0})^T)\end{eqnarray*}$$

状態値、共分散行列予測ステップ

$$\begin{eqnarray*}&& \bar{x_t} = F_{t-1}(\hat{x}_{t-1})\\&& \bar{P_t} = F_{t-1}\hat{P}_{t-1}F_{t-1}^T + W_{t-1}\end{eqnarray*}$$

カルマンゲイン、観測値、共分散行列更新ステップ

$$\begin{eqnarray*}&& K_t = \bar{P_t}H_t^T(H_t\bar{P_t}H_t^T + W_t)^{-1}\\
&& \hat{x_t} = \bar{x_t} + K_t(y_t – H_t\bar{x_t})\\&&\hat{P_t} = (I-K_tH_t)\bar{P_t} \end{eqnarray*}$$

拡張カルマンフィルタ

拡張カルマンフィルタ(Extended Kalman Filter、EKFと略す)は、非線形フィルタリングである。前述した状態方程式、観測方程式より、以下の状態空間モデルのf(⋅)が非線形であり、6軸IMU(慣性センサ)の角度計算に拡張カルマンフィルタが適用される。非線形であるf(⋅)の1次微分を線形化とし、カルマンフィルタのアルゴリズムが適用可能となる。しかし、f(⋅)の微分ではf(⋅)の一部しか表現できず、この線形化処理(1次微分)に誤差を大きく招く場合がある。
$$\begin{eqnarray*}&& \hat{F}_t =\frac{\partial f_t(x)}{\partial x}|_{x=\hat{x}_{t-1}}\end{eqnarray*}$$

状態空間モデル

$$\begin{eqnarray*}&& x_t = \hat{F}_{t-1}(x_{t-1}) + w_{t-1}\\&& y_t = H_t(x_t) + v_t\end{eqnarray*}$$

パラメータ初期化

$$\begin{eqnarray*}&& \hat{x}_0 = E(x_0)\\&& \hat{P_0} = E((x_0-\hat{x_0})(x_0-\hat{x_0})^T)\end{eqnarray*}$$

状態値、共分散行列予測ステップ

$$\begin{eqnarray*}&& \bar{x_t} = \hat{F}_{t-1}(\hat{x}_{t-1})\\&& \bar{P_t} = \hat{F}_{t-1}\hat{P}_{t-1}\hat{F}_{t-1}^T + W_{t-1}\end{eqnarray*}$$

カルマンゲイン、観測値、共分散行列更新ステップ

$$\begin{eqnarray*}&& K_t = \bar{P_t}H_t^T(H_t\bar{P_t}H_t^T + W_t)^{-1}\\
&& \hat{x_t} = \bar{x_t} + K_t(y_t – H_t\bar{x_t})\\&&\hat{P_t} = (I-K_tH_t)\bar{P_t} \end{eqnarray*}$$

6軸IMUへの実装

coming soon…

出典

1.wikipedia: カルマンフィルタ、オイラー角
2.Analog Device AN-1057、アプリケーション・ノート、加速度センサーによる傾きの検出、著者:Christopher J. Fisher
3.マルチボディダイナミクスの基礎―3次元運動方程式の立て方、著者:田島 洋
4.センサ融合を加速度センサやジャイロスコープに適用、著者:Bonnie Baker
5.基礎からわかる時系列分析 Rで実践するカルマンフィルタ・MCMC・粒子フィルタ、著者:萩原淳一郎 等

0

研究開発・検証試作に提案するロボット翔・電子部品ストアにロボット・ドローン関連部品が品揃えています。どうぞご利用ください